확장 유클리드 알고리즘 예제

컴퓨터에서 큰 숫자에 대해 이 값을 찾으려면 확장된 유클리드 알고리즘을 사용하지만 더 작은 숫자에 대한 더 간단한 방법이 있습니다. 확장된 유클리드 알고리즘은 재귀 호출 gcd(b%a, a)에 의해 계산된 결과를 사용하여 gcd(a, b)의 결과를 업데이트합니다. 재귀 호출로 계산된 x 및 y 값을 x1 및 y1로 합니다. x 와 y는 아래 식을 사용하여 업데이트됩니다. 이전 두 경우에서는 확장된 유클리드 알고리즘을 사용하여 각 Diophantine 방정식에 대한 하나의 솔루션을 찾았습니다. 그러나 사실 이러한 방정식은 무한히 많은 솔루션을 가지고 있으며, 확장 된 유클리드 알고리즘은 우리가 원하는만큼 이러한 솔루션을 생성하는 데 사용할 수 있습니다. 두 번째 차이점은 확장 된 유클리드 알고리즘에 의해 제공되는 베즈아웃 계수의 크기에 바인딩되어 있으며, 이는 다항식 케이스에서 더 정확하여 다음과 같은 정리로 이어집니다. 유클리드 알고리즘은 일반적으로 두 정수의 가장 큰 공통 제수를 찾는 데 사용됩니다. 이 알고리즘에 대한 설명은 숫자 이론의 추가 항목에 대한 참고 노트를 참조하십시오. 표준 유클리드 알고리즘은 가장 큰 공통 제수와 다른 것을 제공합니다. 그러나 알고리즘을 통해 좀 더 많은 정보를 추적하면 두 원래 숫자의 정수 선형 조합으로 가장 큰 공통 제수를 작성하는 방법을 발견 할 수 있습니다.

즉, 산술 및 컴퓨터 프로그래밍에서 확장된 유클리드 알고리즘이 유클리드 알고리즘의 확장이며 정수의 가장 큰 공통 제수에 더해 계산하는 것과 같은 정수 s와 t를 찾을 수 있습니다. 정수 x와 y인 베즈아웃의 정체성 계수에는 이진 기술을 사용하여 컴퓨터에서 유클리드 알고리즘과 확장된 유클리드 알고리즘을 모두 수행하는 보다 효율적인 방법이 있습니다. [MENE97] 알고리즘 14.54 및 14.61 및 아래의 바이너리 GCD 코드를 참조하십시오. 행렬 A 1 {디스플레이 스타일 A_{1}}는 ID 행렬이며 그 결정자도 하나입니다. 앞의 수식에서 가장 오른쪽 행렬의 결정요인은 -1입니다. 그것은 I {디스플레이 스타일 A_{i}}의 결정인이 (− 1) i − 1을 따른다. {표시 스타일(-1)^{i-1}} 특히, i = K + 1 , {디스플레이 스타일 i = k + 1,} 우리는 s K T K + 1 – t K K + 1 = 1 = (− 1) K . {디스플레이 스타일 s_{k}t_{k+1}-t_{k}s_{k+1}=(-1)^{k}} 이 것을 베즈아웃의 ID로 보는 것은 s k + 1 {디스플레이 스타일 s_{k+1}} 및 t k + 1 {디스플레이 스타일 t_{k+1}}가 코프라임임을 보여줍니다. s k + 1 + b t k + 1 = 0 {디스플레이 스타일 +1+bt_{k+1}=0} 위에서 증명된 관계와 유클리드의 lemma는 s k + 1 {디스플레이 스타일 s_{k+1}}이 b와 t k + 1 {{k+1}을 나누어 있음을 보여줍니다. 그들은 코프라임이기 때문에, 그들은 그들의 가장 큰 공통 제수에 의해 b와 a의 지수에 서명까지있습니다. r i + 1 = r – i – 1 ~ r – i q i , {디스플레이 스타일 r_{i +1}=r_{i-1}-r_{i},} 가장 큰 일반적인 제수는 (r i − 1, r i) {displaystyle (r_{i-1}, r_{i})} 및 (r_{i}) 및 (r_{a}) {표시 스타일(r_{i}, r_{i+1})} 이는 입력의 가장 큰 공통 제수 a = r 0 , b = r 1 {표시 스타일 a=r_{0}, b=r_{1}}}가 r k, r k + 1 = 1 = 0의 것과 동일하다는 것을 보여줍니다.

{디스플레이 스타일 r_{k}, r_{k+1}=0.} 이것은 r k {displaystyle r_{k}}가 a와 b의 가장 큰 일반적인 제수임을 증명합니다(이 시점까지 는 증명이 고전 유클리드 알고리즘의 제수와 동일합니다.) 유클리드 알고리즘은 두 정수의 가장 큰 공통 제수(gcd)를 계산하는 효율적인 방법입니다. 그것은 처음 유클리드의 요소의 책 VII에서 처음 출판 되었다 언젠가 주위 300 기원전. 아래확장된 유클리드 알고리즘에 대한 토론에서 배당금, 몫 및 제수의 관점에서 나머지를 표현하기 위해 이 방정식을 다시 작성하는 것이 더 유용하다는 것을 알게 될 것입니다.

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